Question

高一的一道数学奇偶性的题

已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x^2-2x,是否存在这样的正数a,b，使得当x属于[a,b]时，f(x)的值域为[1\b,1\a]?若存在，求出所有可能的a,b的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

正数a,b，可写成 a>0,b>0,则1/a>0,1/b>0.
所以问题讨论的区间为：x≥0，f（x）=x^2-2x>0
则可得：
x>2,
而f（x）=x^2-2x在（2，∞）为典型单递增函数。
那么，a>b>0, 1/a>1/b>0
则f(b)>f(a)>0
有：
F(b)=1/a，即: b^2-2b=1/a,即,ab^2-2ab=1
F(a)=1/b，即a^2-2a=1/b即,a^2 b -2ab=1

联立求得：a=b
故满足题中要求的a,b不存在。

此题事实上与奇偶性无关。