Question

lim{[(1+x)^1/x]/e}^1/x,x—>0的问题 lim(1+x)^1/x=e 当x--0时,不能代换吗?

Answer 1

简单分析一下，详情如图所示

Answer 2

不可以这样代换,应该这样做
先取对数
ln{[(1+x)^1/x]/e}^1/x
=ln{[(1+x)^1/x]/e}/x
＝{ln[(1+x)^1/x]-lne}/x
={ln[(1+x)]/x-1}/x
={ln[(1+x)]-x}/x^2
这是个0/0型的极限
运用洛必达法则
lin{ln[(1+x)]-x}/x^2
=lim[1/(1+x)-1]/2x
=lim[-1/2*1/(1+x)]
=-1/2
故lim{[(1+x)^1/x]/e}^1/x
＝e^lin{ln[(1+x)]-x}/x^2
=e^(-1/2)