Question

高数之证明不等式

证明不等式：
（1）x/(1+x)<ln(1+x)<x
(2)|arctana-arctanb|<=|a-b|
详细过程，谢谢！

Answer 1

ln(1+x) = ln(1+x) - ln1
= 1/(1+θx)*[(1+x)-1] 0<θ<1
= x/(1+θx) 0<θ<1
∵ x/(1+x)< x/(1+θx) < x 0<θ<1
∴ x/(1+x)<ln(1+x)<x 0<θ<1 ; -1<x

|arctana-arctanb| = |1/(1+ξ²)*(b-a)| ≤ |a-b|

Answer 2

用拉格朗日定理，很简单