Question

一道高一数学函数题

设f(x)是定义在（0，+∞）内的增函数，且f(xy)=f(x)+f(y)，若f(3)=1且f(a)＞f(a-1)+2

求：a的取值范围

最好有详细的阶梯说明，谢谢！

Answer 1

因为f(xy)=f(x)+f(y)，f(3)=1所以f(9)=f(3)+f(3)=2
所以f(a)＞f(a-1)+2，即f(a)＞f(a-1)+f(9)即f(a)＞f(9a-9)
又因为f(x)是定义在（0，+∞）内的增函数
所以0＜9a-9＜a
所以1＜a＜9/8

Answer 2

根据不等式首先可以写出：
a>0
a-1>0
然后不等式右边 = f(a-1)+2*f(3)
=f(a-1)+f(3)+f(3)
=f(3(a-1))+f(3)
=f(9(a-1))
又是增函数，故有
a>9(a-1)
8a<9
解得a<9/8
根据最开始的两个不等式，有a>1
于是最终结果为1<a<9/8

Answer 3

因为 f(3)=1
所以 f(3)+f(3)=2
因为 f(xy)=f(x)+f(y)
所以 f(9)=2
所以 f(a-1)+2=f(9a-9)
所以 f(a)>f(a-1)+2即为f(a)>f(9a-9)
又f(x)是定义在（0，+∞）内的增函数
所以a>0且a>9a-9
所以0<a<9/8