Question

已知函数f(x)=x+a/x,运用函数单调性的定义探究：是否存在正数a使f(x)在区间（0,2]上是减函数在[2，+&）上

已知函数f(x)=x+a/x,运用函数单调性的定义探究：是否存在正数a使f(x)在区间（0,2]上是减函数在[2，+&）上是增函数。如果存在，求出a值；若不存在，说出理由

Answer 1

取x1>x2带入函数f(x)。
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+a(1/x1-1/x2),提出（x1-x2）得
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)（1-a/（x1*x2））讨论单调性。
x1-x2>0
讨论1-a/（x1*x2）的符号就行了。
如果增函数1-a/（x1*x2）>0 因为所给的范围都是正数，所以a<x1*x2
减函数1-a/（x1*x2）<0, a>x1*x2
要求的区间（0,2]上减，x1*x2最大值4，a>4
要求的区间[2，+&）上增，x1*x2最小值4，a<4
所以不存在同时满足两个要求的a值。

Answer 2

对函数f(x)求导，f’(x)=1-a/(x*x) 。

（1）当f’(x) < 0 时 f(x) 为减函数，

所以 a < 4;

（2）当f’(x) > 0 时 f(x) 为增函数，

所以 a > 4;

综合（1）（2）不存在。

Answer 3

这道题很简单，有分吗？