Question

等比数列问题，急，谢谢！

设{An}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{An}的前n项的和。已知S3=7,A1＋3,3A2,A3＋4构成等差数列。求通项公式An？

Answer 1

解：
∵{an}为等比数列，设公比为q
∴S3=a1+a2+a3=a1+a1·q+a1·q²=7

∵A1＋3,3A2,A3＋4构成等差数列
∴由等差数列中项公式得：(a1+3)+(a3+4)=2(3a2)
展开得:a1+a3+7=6a2 即a1+a1·q²+7=6·a1·q ①
∵S3=7
∴①式等价于 a1+a1·q²+S3=6·a1·q 即a1+a1·q²+(a1+a1·q+a1·q²)=6·a1·q
化简得:a1(2q²+q+2)=6·a1·q ②
∵等比数列{an}
∴a1≠0
∴②式两边同时除以a1得: 2q²+q+2=6·q
∴2q²-5q+2=(2q-1)(q-2)=0
解得: q=1/2或2
∵由题得q＞1
∴q=2
∵S3=a1+a1·q+a1·q²=a1·(1+2+4)=7
解得a1=1
∴{an}是以1为首项,2为公比的等比数列
∴an=1·2^(n-1)=2^(n-1)

PS:2^(n-1)=2的(n-1)次方

Answer 2

另 A1=a ,等比数列的公比为 q

则有

A2=aq

A3=a×q^2

已知S3=7,A1＋3,3A2,A3＋4构成等差数列

则有

A1+A2+A3=7

A1-A2 = A2-A3

即

a+aq+aq^2=7

a+3-3aq=3aq-(aq^2+4)

对上面的二元方程进行化简得到

a(q^2+q+1)=7 => q^2+q+1=7/a <---式1

aq^2-6aq+a=-7 => q^2-6q+1=-7/a

因此

q^2+q+1=-(q^2-6q+1)

得到

2q^2 - 5q + 2=0

即

(2q-1)(q-2)=0

q=1/2 或 q=2

因为公比 q>1

所以 q=2

再代入 式1

得 a=1

所以

An= 1×2^(n-1)