求级数的敛散性
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比较审敛法:
cos(1/n)-1=-2sin²(1/2n)
原式=-2[sin²(1/2)+sin²(1/4)+sin²(1/6)+...+sin²(1/2n)]
中括号中
0<sin²(1/2)+sin²(1/4)+sin²(1/6)+...+sin²(1/2n)<1/2²+1/4²+1/6²+...+1/4n²
=(1/4)[1+1/2²+1/3²+...+1/n²)
上面括号中的级数,已知是收敛的,所以原级数收敛。
cos(1/n)-1=-2sin²(1/2n)
原式=-2[sin²(1/2)+sin²(1/4)+sin²(1/6)+...+sin²(1/2n)]
中括号中
0<sin²(1/2)+sin²(1/4)+sin²(1/6)+...+sin²(1/2n)<1/2²+1/4²+1/6²+...+1/4n²
=(1/4)[1+1/2²+1/3²+...+1/n²)
上面括号中的级数,已知是收敛的,所以原级数收敛。
追答
第二题,交错级数,用莱布尼兹审敛法an=sin(1/n)---->0
an-a(n十1)=sin(1/n)-sin[1/(n十1)]〉0,所以收敛。
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