Question

多元函数微分的简单计算？

初学者，想问一下①是怎么算到得出②的，？③怎么算出来④的。求手写过程，万分感谢！

Answer 1

解答如下

Answer 2

二阶偏导数，就是对一阶偏导数再求一次偏导数。而且这里，有相当于复合函数求导的原理。
z的变量是（u，v），u、v的变量是x，y；偏导数里面同样有变量u、v，x，y；但是本题情况特殊，偏导数里只含u，v，不直接含x，y，因为u，v对x，y的偏导数都是常数。

偏微分的符号∂与微分的符号d，含义差不多，运算也一样。
u=x+ay，∂u/∂x=1，∂u/∂y=a
v=x+by，∂v/∂x=1，∂v/∂y=b
z=z(u,v)
∂z/∂x=∂z/∂u.∂u/∂x+∂z/∂v.∂v/∂x=∂z/∂u.1+∂z/∂v.1=∂z/∂u+∂z/∂v
∂z/∂u，∂z/∂v，都是变量为u，v的函数，不直接含有变量x，y。
二阶偏导数，就是对一阶偏导数再求一次偏导数：
∂²z/∂x²=∂（∂z/∂x）/∂x=∂（∂z/∂u）/∂x+∂（∂z/∂v）/∂x
∂²z/∂u∂x=∂（∂z/∂u）/∂x=∂（∂z/∂u）/∂u.∂u/∂x+∂（∂z/∂u）/∂v.∂v/∂x
=∂（∂z/∂u）/∂u+∂（∂z/∂u）/∂v
=∂²z/∂u²+∂²z/∂u∂v
这里有个书写规则：∂（∂z，再个∂相连，写成∂²z，∂u.∂u写成∂u²，
对于∂z/∂v求对x的偏导数，原理相同。把上面的分子的前面一项分子的u换成v即可：
∂²z/∂v∂x=∂（∂z/∂v）/∂x=∂（∂z/∂v）/∂u.∂u/∂x+∂（∂z/∂v）/∂v.∂v/∂x
=∂（∂z/∂v）/∂u+∂（∂z/∂v）/∂v
=∂²z/∂v∂u+∂²z/∂v²