Question

高等代数理论基础64：正交变换

Answer 1

定义：对欧式空间V的线性变换 ,若它保持向量的内积不变,即 ,有 ,则称 为正交变换

定理：设 是n维欧式空间V的一个线性变换,则以下四个命题等价

1. 是正交变换

2. 保持向量的长度不变,即对

3.若 是标准正交基,则 也是标准正交基

4. 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵

证明：

因正交矩阵可逆,故正交变换可逆

正交变换实际上是一个欧式空间到它自身的同构映射,故正交变换的乘积与正交变换的逆变换还是正交变换

在标准正交基下,正交变换与正交矩阵对应,故正交矩阵的乘积与正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵

若A是正交矩阵,则由 ,可知 ,或

故正交变换的行列式为

行列式等于+1的正交变换称为旋转,或称为第一类的

行列式等于-1的正交变换称为第二类的

例：欧式空间中任取一组标准正交基 ,定义线性变换

则 即第二类正交变换,在几何上这是一个镜面反射