Question

1.多项式中的常见问题

Answer 1

三者由上到下进行推导

(1)设 是一个整系数多项式，已知是一个整系数多项式，且 都是奇数，则 无整数根。
(2)设 是一个整系数多项式，已知a是偶数，b是奇数，且 都是奇数，则 无整数根。
(3)已知 是一个整系数多项式，已知 都不被3整除，则 无整数根

此判别法的证明过程相当的重要，务必熟悉课本证明方法，了解每一个整除和不整除的目的。

设 是一个整系数多项式，并且存在素数p使得 ，则 有一个次数大于等于r且在有理数域上不可约的因式。

利用这二者为强大工具，可以进行一系列证明。

例1.已知 ，则
证明：假设 ，则取 的不可约因式 ， ，又 不可约，故 或 ，就会得到 或 ，不管哪种情况，都与之前的已知矛盾。

例2.已知 是两个多项式，证明：对任意正整数n，都有

例3.已知 是两个多项式，且 ，证明：对任意正整数n有

首先，引入一个命题，课本上作为习题出现，对于一下题目的证明起到相当粗暴有效的作用。

例.设 ，证明 充要条件是n为偶数

例.已知 是互异的整数，证明：
(1) 在有理数域上不可约
(2)n是奇数时， 在有理数域上不可约
(3) n是偶数时比较繁琐：可以证明n=2或4时， 在有理数域上可能可约，但 时，g(x)在有理数域上一定不可约(证明过程参见丘维声高等代数教材)
(4) 在有理数域上不可约
提示：不妨假设可约 ，(1),(2)中将 带入后，可分别得到 和 进一步可得到矛盾，(4)中则利用 推导出不可能出现分解式一会儿正，一会儿负的情况，否则由于多项式连续，介值定理知 必存在零点，矛盾，故分解式恒正或恒负，接下来工作就较为简单了。