1.多项式中的常见问题
三者由上到下进行推导
(1)设 是一个整系数多项式,已知是一个整系数多项式,且 都是奇数,则 无整数根。
(2)设 是一个整系数多项式,已知a是偶数,b是奇数,且 都是奇数,则 无整数根。
(3)已知 是一个整系数多项式,已知 都不被3整除,则 无整数根
此判别法的证明过程相当的重要,务必熟悉课本证明方法,了解每一个整除和不整除的目的。
设 是一个整系数多项式,并且存在素数p使得 ,则 有一个次数大于等于r且在有理数域上不可约的因式。
利用这二者为强大工具,可以进行一系列证明。
例1.已知 ,则
证明:假设 ,则取 的不可约因式 , ,又 不可约,故 或 ,就会得到 或 ,不管哪种情况,都与之前的已知矛盾。
例2.已知 是两个多项式,证明:对任意正整数n,都有
例3.已知 是两个多项式,且 ,证明:对任意正整数n有
首先,引入一个命题,课本上作为习题出现,对于一下题目的证明起到相当粗暴有效的作用。
例.设 ,证明 充要条件是n为偶数
例.已知 是互异的整数,证明:
(1) 在有理数域上不可约
(2)n是奇数时, 在有理数域上不可约
(3) n是偶数时比较繁琐:可以证明n=2或4时, 在有理数域上可能可约,但 时,g(x)在有理数域上一定不可约(证明过程参见丘维声高等代数教材)
(4) 在有理数域上不可约
提示:不妨假设可约 ,(1),(2)中将 带入后,可分别得到 和 进一步可得到矛盾,(4)中则利用 推导出不可能出现分解式一会儿正,一会儿负的情况,否则由于多项式连续,介值定理知 必存在零点,矛盾,故分解式恒正或恒负,接下来工作就较为简单了。