Question

y'=(4x+y+1)^2 如何判断是什么类型的微分方程并求解?感激不尽1!

Answer 1

对于微分方程的类型,我们可以先根据方程中未知函数导数的最高阶数来确定是几阶的,而后依据未知函数及其各阶导数的最高幂次确定是否线性.若它们都是一次的,则为线性的,否则是非线性的.对于线性方程又可以分为齐次和非齐次,而对于非线性的,我们可以进一步根据其特点分为可分离变量方程、齐次方程等等.
该方程中y的导数一阶的,而y的最高幂次为2次所以第一步判断是一阶非线性微分方程,进一步,设代换u=4x+y+1,则可化为u'=u^2+4为可分离变量方程.所以,严格说,它是可化为可分离变量的一阶非线性微分方程.
解法：令u=4x+y+1,
则u'=4+y',
原方程化为：u'=u^2+4,分离变量得：du/(u^2+4)=dx
两边积分得：(1/2)arctan(u/2)=x+C‘,即,arctan(u/2)=2x+C,u=2tan(2x+C),
将u=4x+y+1代回,得
y=2tan(2x+C)-4x-1