xyz都是正实数,求xy+yz/x^2+y^2+z^2的最大值.
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均值不等式,x,y,z都是正实数,有
x^2+(y^2)/2≥xy√2.①（等号成立x^2=(y^2)/2
(y^2)/2+z^2≥yz√2.②（等号成立(y^2)/2=z^2
①+②得
x^2+y^2/2+y^2/2+z^2≥xy√2+yz√2=√2(xy+yz)
所以
(xy+yz)/(x^2+y^2+z^2)≤1/√2=(√2)/2
故当且仅当x^2=(y^2)/2=z^2,即x=(√2)y/2=z时,(xy+yz)/(x^2+y^2+z^2)取得最大值(√2)/2
x^2+(y^2)/2≥xy√2.①（等号成立x^2=(y^2)/2
(y^2)/2+z^2≥yz√2.②（等号成立(y^2)/2=z^2
①+②得
x^2+y^2/2+y^2/2+z^2≥xy√2+yz√2=√2(xy+yz)
所以
(xy+yz)/(x^2+y^2+z^2)≤1/√2=(√2)/2
故当且仅当x^2=(y^2)/2=z^2,即x=(√2)y/2=z时,(xy+yz)/(x^2+y^2+z^2)取得最大值(√2)/2
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