Question

正弦定理和余弦定理的所有公式

Answer 1

正弦定理、三角形面积公式

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于该三角形外接圆的直径，即：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.

面积公式：S△=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2acsinB.

1.正弦定理的变形及应用

变形：(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

(2)sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c

(3)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R.

应用(1)利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：

a.已知两角和任一边，求其他两边和一角.

b.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.

一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解.

(2)正弦定理，可以用来判断三角形的形状.其主要功能是实现三角形中边角关系转化.例如：在判断三角形形状时，经常把a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC来代替.

2.余弦定理

在△ABC中，有a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC;

变形公式：cosA=b2+c2-a2/2bc,cosB=c2+a2-b2/2ac,cosC=a2+b2-c2/2ab

在三角形中，我们把三条边(a、b、c)和三个内角(A、B、C)称为六个基本元素，只要已知其中的三个元素(至少一个是边)，便可以求出其余的三个未知元素(可能有两解、一解、无解)，这个过程叫做解三角形，余弦定理的主要作用是解斜三角形.

3.解三角形问题时，须注意的三角关系式：A+B+C=π

0<a，b，c<Π

sinA+B/2=sinπ-c/2=cosC/2

sin(A+B)=sinC

特别地，在锐角三角形中，sinA<cosb,sinb<cosc,sinc<cosa.

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