Question

数列有界是数列收敛的什么条件?

Answer 1

必要而不充分条件。无界数列一定发散，所以有界是收敛的必要条件；但是有界数列不一定收敛。

收敛数列，设数列{Xn}，如果存在常数a（只有一个），对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列。

有界数列，是数学领域的定理，是指任一项的绝对值都小于等于某一正数的数列。有界数列是指数列中的每一项均不超过一个固定的区间，其中分上界和下界。

数列收敛与其子数列间的关系：

1、子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<M。

2、若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。

3、如果数列{Xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。