Question

(1+1/n)^n的极限是什么?

Answer 1

(1+1/n)^n的极限如：设f(n)=(1+1/n)^n；两边取自然对数ln[(1+1/n)^n]=n*ln(1+1/n)；对n*ln(1+1/n)用罗比达法则；得lim(n*ln(1+1/n))=1 (n-∞)；所以lim(1+1/n)^n=e，（n-∞)。

性质：

1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。

2、有界性：如果一个数列'牧敛'（有极限），那么这个数列一定有界。

但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列:“1，-1，1，-1，......(-1)n+1"。

3、保号性：若lim xn=a>0(或<0），则对任何m E (0,a)(a<0时则是m ∈(a,0)〉，存在N>0，使n>N时有x, >m（相应的xn<m) 。

4、保不等式性：设数列{xn}与{yn}均收敛。若存在正数N，使得当n>N时有X≥yn，则 Lmm2n-m""(若条件换为xn>yn，结论不变)。

5、和实数运算的相容性：譬如如果两个数列(xn} ,{yn}都收敛，那么数列(x+ yn]也收敛，而且它的极限等于{xn}的极限和{yn}的极限的和。

6、与子列的关系∶数列{xn}与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限﹔数列(x,}收敛的充要条件是:数列{xn}的任何非平凡子列都收敛。