Question

正交矩阵行列式的值是什么？

Answer 1

正交矩阵行列式的值是若A是正交阵，则AA^T=E两边取行列式得|A||A^T|=1，即|A|^2=1，所以|A|=±1。

|A|=|A^T|是行列式的性质，行列式的行列互换，行列式的值不变。

r11^2+r12^2+r13^2=r21^2+r22^2+r23^2=r31^2+r32^2+r33^2=1。

r1i*2j+r2i*r2j+r3i*r3j=0，i，j=1，2，3，i不=j。

相关定理：

定理1 设A为一n×n矩阵，则det(AT)=det(A)。

证 对n采用数学归纳法证明。显然，因为1×1矩阵是对称的，该结论对n=1是成立的。假设这个结论对所有k×k矩阵也是成立的。

对(k+1)×(k+1)矩阵A，将det(A)按照A的第一行展开，我们有：det(A)=a11det(M11)-a12det(M12)+-…±a1,k+1det(M1,k+1)，此式右端恰是det(AT)按照AT的第一列的余子式展开。