Question

两道高数题，求解答

Answer 1

解答如下

Answer 2

DD收敛级数的加减必然是收敛级数。其他选项为一般项不趋向于0，或者一般项可以是交错序列（例如第一个问题的B和第二个问题的A）。可以给出特殊的例子。满意证明，请采纳

Answer 3

(2)
y=arctan[(x+1)/(x-1)]
dy
=(1/{ 1+ [(x+1)/(x-1)]^2 } ) . [-2/(x-1)^2] dx
={ (x-1)^2/[ (x-1)^2+ (x+1)^2] } . [-2/(x-1)^2] dx
=-[1/(x^2+1)] dx
(3)

y=e^(3x)

dy/dx =3e^(3x)
dy/dx|x=1
=3e^3

Answer 4

第1小题。dy=-dx/(1+x²)。
其过程是，tany=(x+1)/(x-1)=1+2/(x+1)。两边对x求导，有(sec²y)y'=-2/(x-1)²。∴y'=-2/[(x-1)²sec²y]=-1/(x²+1)。dy=-dx/(x²+1)。
第2小题，弹性为3e³。
其过程是，y'=3e^(3x)。∴x=1时，其弹性为3e³。

Answer 5

首先需要注意一点，由 在 存在，知 在 上连续，于是 在 上也连续，故而 在 上可积。注意到 于是 在 上递增，因此 所以 于是 这表明单调递增函数 在 上有界，于是依单调有界原理， 存在。进而通过对上式取极限，即得