24题这个求极限怎么解答？
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简单计算一下，答案如图所示
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解答如下
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你可以把x=0代入进去开始算，这个结果应该为0
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x->0
√(1+x^2) = 1 +(1/2)x^2 + o(x^3)
x+√(1+x^2) =1 +x+ (1/2)x^2 + o(x^3)
ln[x+√(1+x^2)]
=ln[ 1+x+ (1/2)x^2 + o(x^3)]
=[x+ (1/2)x^2] -(1/2)[x+ (1/2)x^2]^2 +(1/3)[x+ (1/2)x^2]^3 +o(x^3)
=[x+ (1/2)x^2] -(1/2)[x^2+x^3 +o(x^3)] +(1/3)[x^3+ o(x^3)] +o(x^3)
=x +( -1/2 +1/3)x^3 +o(x^3)
=x -(1/6)x^3 +o(x^3)
ln[x+√(1+x^2)]/x =1 -(1/6)x^2 +o(x^2)
//
lim(x->0) { ln[x+√(1+x^2)]/x }^(1/x^2)
=lim(x->0) [1 -(1/6)x^2 ] ^(1/x^2)
=e^(-1/6)
√(1+x^2) = 1 +(1/2)x^2 + o(x^3)
x+√(1+x^2) =1 +x+ (1/2)x^2 + o(x^3)
ln[x+√(1+x^2)]
=ln[ 1+x+ (1/2)x^2 + o(x^3)]
=[x+ (1/2)x^2] -(1/2)[x+ (1/2)x^2]^2 +(1/3)[x+ (1/2)x^2]^3 +o(x^3)
=[x+ (1/2)x^2] -(1/2)[x^2+x^3 +o(x^3)] +(1/3)[x^3+ o(x^3)] +o(x^3)
=x +( -1/2 +1/3)x^3 +o(x^3)
=x -(1/6)x^3 +o(x^3)
ln[x+√(1+x^2)]/x =1 -(1/6)x^2 +o(x^2)
//
lim(x->0) { ln[x+√(1+x^2)]/x }^(1/x^2)
=lim(x->0) [1 -(1/6)x^2 ] ^(1/x^2)
=e^(-1/6)
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