Question

圆锥体积公式的推导过程

Answer 1

    小学生能理解的圆锥体积公式推导过程

        由于小学生理解能力的欠缺，以及微积分概念高度的抽象，小学生是不可能通过微积分来理解圆锥的体积公式的。于是，教材上都采用了等底等高的圆柱和圆锥倒水或者倒沙子的实验方法来验证圆锥的体积=1/3圆柱的体积（前提：等底等高）。孩子们在经历了这个实验后，能明白圆锥的体积公式。但是，有一个挥之不去的疑惑，就是从旋转的角度来想：圆锥的体积应该是圆柱的1/2。学生疑惑的形成如下：

      在长方形里通过对角线把长方形分成两个一样的直角三角形，当同步旋转的时候，旋转成形的任一瞬间，三角形的面积都是长方形的二分之一，由于是同步旋转，因此旋转的度数完全相同，也就是说，累计叠加的个数也完全相同，因此，由无数个三角形旋转叠加而成的圆锥的体积，应该就是由同样多个数的长方形旋转叠加而成的圆柱的体积的二分之一。也就是说圆锥的体积=1/2圆柱的体积（前提：等底等高）。

        如何来解决这个疑惑呢？我想到了点动成线、线动成面、面动成体。可以从平移和旋转两个方面来推导圆锥的体积公式。

一、 平移，就是量的累加结果=本身X距离

      点动成线、线动成面、面动成体。利用本身X距离。可以得到长度、面积、体积。当一个点向一个方向（假设是右方）直线运动了3厘米，则用本身X距离（1X3=3厘米）。当这条线段向上运动2厘米的时候得到一个长方形。用本身X距离，即3×2=6平方厘米。也就是说：在长方形中“宽”可以看成“长”运动的距离，所以长方形的面积=长（本身）X宽（距离）。平行四边形的面积可以也同样可以得到解释。同理长方体的体积、圆柱的体积都可以用本身X距离得到。简言之，就是本身平移累加的结果。当然，圆锥也可以是累加的结果，不过在累加的过程之中，本身在不断的变小，所以，无法确定结果（本身不是一个定值）。那么，该咋办？可以利用旋转来解决……

二、 旋转，就是量的转动结果=本身X距离X相关比例系数。

        圆是由半径绕圆心旋转一周而成，那么根据本身X距离得到圆的面积=r×2πr 而事实上却是r×πr，为什么会有2倍的误差？假设把圆的半径的两端点看作是两人在干活，现在的情况是A没有动，只是B一个人工作，两个点中只有一个点在动，于是用比例系数就是一半，得到：S= 1/2×2πr2=πr2

      所以面动成体时，要考虑参与运动的点的数量和全部点的数量的比例关系系数，用系数X本身X距离从而得到转动体的体积。

      圆柱即可以看做是平移累加的结果，也可以一个长方形绕着其中的一条边旋转而成。比如：长方形绕长h旋转，按本身X距离的公式，其中长方形本身面积为rh，旋转距离为2πr，所以体积公式应该为2πr•rh，化简后得2πr2h，但是由于四个点中运动的只有两个点，所以用1/2×2πr2h=πr2h。

      接下来圆锥也可以用“比例系数”×本身面积×运动距离来解决。直角三角形绕一条直角边旋转得到圆锥，这个三角形面积为1/2rh，旋转的距离为2πr，三角形三个点中只有一个点在运动，所以 1/3×1/2rh×2πr化简为：1/3πr2h。

      当然这样利用旋转来得到圆锥的体积公式，更多是在“自圆其说”，并且目前只能“自圆其说”到圆锥的体积，对于圆台的体积还是无法打通，至于球的体积公式，比例系数更是无法可寻。不过我相信，这里面一定有某些合理的成份在里头。

        当通往目标的路只有一条的时候，人们无法对路的好坏做出评价；当通往目标的路有两条的时候，人们就有了比较的可能。也许，第二条路还不能算是一条真正意义上的路，不过毕竟让孩子们多了一个认识数学的角度，多欣赏了一份美丽的风景……