Question

极限计算：该题如何计算极限？

Answer 1

解题思路：

本题为∞-∞类型的极限，x→∞不算好处理，因此考虑转换为倒数→0来进行解答。首先需要对3次根号下的分式进行倒数处理，后面的sin1/x可以转换为sinx在0处的泰勒展开式。

具体解答见下图：

解答过程及答案

Answer 2

lim<x→∞>x^3{[(x^3+x)/(x^6+x^3+1)]^(1/3) - sin(1/x)}
= lim<x→∞>{[(x^6+x^4)/(x^6+x^3+1)]^(1/3) - sin(1/x)}/(1/x^2)
= lim<x→∞>{[(1+1/x^2)/(1+1/x^3+1/x^6)]^(1/3) - sin(1/x)}/(1/x^2) （1/x = t）
= lim<t→0>{[(1+t^2)/(1+t^3+t^6)]^(1/3) - sint}/t^2
= lim<t→0>{[(1+t^3+t^6+t^2-t^3-t^6)/(1+t^3+t^6)]^(1/3) - sint}/t^2
= lim<t→0>{[1 + (t^2-t^3-t^6)/(1+t^3+t^6)]^(1/3) - sint}/t^2
= lim<t→0>{[1+(1/3)(t^2-t^3-t^6) - (1-t^3/6)}/t^2
= lim<t→0>[(1/3)t^2+o(t^2)]/t^2 = 1/3