Question

线性代数的一个证明。

若a1 a2 .......as线性无关，且a1 a2 .......as，β线性相关，则β可由a1 a2 .......as线性表出。这个要怎么证明？

Answer 1

记A=（a1 a2 .......as），由题意，只要证明
AX=β有解就可以了。
因为a1 a2 .......as线性无旦掘关，所以秩A=s
而s=秩A<=秩（A，模稿核β）<s+1
从而 秩A<=秩（A，β）=s
由方程组解的理论敬桐知识可知AX=β有解
即β可由a1 a2 .......as线性表出。

Answer 2

a1 a2 .......as线性无关
就是 不亏竖存在一组不全为0的数使得：k1a1+k2a2+........+ksas=0成立； （1）
a1 a2 .......as，β线性相关
就是存在一组不全为0数使得：
m1a1+m2a2 +.......msas+mβ=0成立培空敬 （2）
假如m=0，则（2）式就是 m1a1+m2a2 +.......msas=0 （3） 与（1）式矛盾
所以m不等于0，可以除
将（2）变换,
β=-1/m（m1a1+m2a2 +.......msas）
则则β可由a1 a2 .......as线性表出配慎

Answer 3

证明：因为a1，键尺a2........as，β线性相关
所以存在不全为0的数k1,k2.......ks，kr使得
k1a1+k2a2+......+ksas+krβ=0
假设kr=0，则k1,k2.......ks不全部为零，使得
k1a1+k2a2+......+ksas=0
这与a1 a2 .......as线性无关线脊者性无关相矛稿野高盾
故kr不等于0
即有
β=-(k1/kr)a1-（k2/kr)a2-......-(ks/kr)as