Question

求y''+y=x²+3+cosx的通解

Answer 1

求y"+y=x+cosx 的通解 y"+y=x+cosx首先计算y"+y=0，得到y=Asinx+Bcosx,A、B为常数然后计算特解，特解可以分为两部分（利用线版性关系），一部分是计权算结果等于x的特解，另一部分是计算结果等于cosx的特解1、计算结果等于x的特解：很明显y=x就是计算结果等于x的特解2、计算结果等于cosx的特解如楼上所示为1/2x*sinx所以最终的结果为y=Asinx+Bcosx+x+1/2xsinx

Answer 2

y''+y = x²+3+cosx, 特征方程 r^2+1 = 0, 得 r = ±i
对于非齐次项 x²+3，设特解 y = ax^2+bx+c, 代入微分方程 得特解 y = x^2+1；
对于非齐次项 cosx，设特解 y =x(pcosx+qsinx), 代入微分方程 得特解 y = (1/2)xsinx；
原微分方程通解是 y = C1cosx + C2sinx + x^2 + 1 + (1/2)xsinx