如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=CC1,AC⊥BC,点D是AB的中点.
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解题思路:(1)以C为原点,直线CA,CB,CC 1分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.设AC=BC=CC 1=2,求出向量 CD , AB , B 1 B ,求出 CD 与 AB 的数量积以及 CD 与 B 1 B 的数量积,从而证得CD⊥AB,CD⊥B 1B,根据线面垂直的判定定理即可证得;
(2)欲证AC 1∥平面CDB 1,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AC 1与平面CDB 1内一直线平行即可,而DE∥AC 1;
(3)直线B 1B和平面CDB 1所成的角就是B 1B和DB 1所成的角,∠BB 1D是直线B 1B和平面CDB 1所成的角,利用向量求出此角即可.
∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=CC1,AC⊥BC,
∴AC、BC、CC1两两垂直.
如图,以C为原点,直线CA,CB,CC1分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.设AC=BC=CC1=2.
则C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2),B1(0,2,2),D(1,1,0).
(Ⅰ)证明:∵
CD=(1,1,0),
AB=(−2,2,0),
B1B=(0,0,−2)
∴
CD•
AB=0,
CD•
B1B=0,CD⊥AB,CD⊥B1B.
又AB∩B1B=B,
∴CD⊥平面A1ABB1(4分)
(Ⅱ)证明:设BC1与B1C的交点为E,则E(0,1,1).
∵
DE=(−1,0,1),
点评:
本题考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定;直线与平面所成的角.
考点点评: 本小题主要考查直线与平面垂直的判定,以及直线与平面平行的判定和直线与平面所成的角,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.
(2)欲证AC 1∥平面CDB 1,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AC 1与平面CDB 1内一直线平行即可,而DE∥AC 1;
(3)直线B 1B和平面CDB 1所成的角就是B 1B和DB 1所成的角,∠BB 1D是直线B 1B和平面CDB 1所成的角,利用向量求出此角即可.
∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=CC1,AC⊥BC,
∴AC、BC、CC1两两垂直.
如图,以C为原点,直线CA,CB,CC1分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.设AC=BC=CC1=2.
则C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2),B1(0,2,2),D(1,1,0).
(Ⅰ)证明:∵
CD=(1,1,0),
AB=(−2,2,0),
B1B=(0,0,−2)
∴
CD•
AB=0,
CD•
B1B=0,CD⊥AB,CD⊥B1B.
又AB∩B1B=B,
∴CD⊥平面A1ABB1(4分)
(Ⅱ)证明:设BC1与B1C的交点为E,则E(0,1,1).
∵
DE=(−1,0,1),
点评:
本题考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定;直线与平面所成的角.
考点点评: 本小题主要考查直线与平面垂直的判定,以及直线与平面平行的判定和直线与平面所成的角,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.
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