Question

计算行列式| -1 1 11 # 1 -1 1 1#1 1-1 1#1 1 1 -1|

Answer 1

计算行列式| -1 1 11 # 1 -1 1 1#1 1-1 1#1 1 1 -1|

行列式=|(2,2,2.2)(1,-1,1,1)(1,1,-1,1)(1,1,1,-1)| 【r1=r1+r2+r3+r4】
=2*|(1,1,1,1)(1,-1,1,1)(1,1,-1,1)(1,1,1,-1)| 【提出r1的公因子】
=2*|(1,1,1,1)(0,-2,0,0)(0,0,-2,0)(0,0,0,-2)| 【r2-r1、r3-r1、r4-r1】
=2*1*(-2)*(-2)*(-2)
=-16

计算行列式： |a 1 a| |-1 a 1| |a -1 a|

|a 1 a|
|-1 a 1| = a³+a+a- a³+a+a=4a
|a -1 a|

计算行列式 D= a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a

刚有人问过这个
2,3,4列都加到第1列
a+3 1 1 1
a+3 a 1 1
a+3 1 a 1
a+3 1 1 a
2,3,4行都减第1行
a+3 1 1 1
0 a-1 0 0
0 0 a-1 0
0 0 0 a-1
行列式 = (a+3)(a-1)^3
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计算行列式1 1 1 1；1 2 -1 4；2 -3 -1 -5；3 1 2 11

1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 -1 4 0 1 -2 3 1 -2 3
2 -3 -1 -5 == 0 -5 -3 -7 == 0 -13 8 == --13*14---(--5*8)
3 1 2 11 0 -2 -1 8 0 -5 14
---------------------------
---182+40 == --142

用行列式性质或展开计算下列四阶行列式 1 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1

我说步骤，你自己写吧，打出来太麻烦 且不好看。解法很多，现给出一种：
将第二列分别加到其余三列，再按第二行展开得三阶行列式，这时可以直接展开，也可第一行减去第二或第三行后再按第一行展开，结果为 -8。
你自己可仿此法得出不同的解法。

计算行列式|0 -1 -1 -1||1 0 -1 -1||1 1 0 -1||1 1 1 0|

r4-r3,r3-r2
0 -1 -1 -1
1 0 -1 -1
0 1 1 0
0 0 1 1
r1+r3
0 0 0 -1
1 0 -1 -1
0 1 1 0
0 0 1 1
第1行依次与2,3,4行交换得(行列式变符号)
1 0 -1 -1
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 -1
行列式 = -1*(-1) = 1.

行列式1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 用行列式的定义计算

先按第四行第三列的1降阶，(-1)^(3+4)|110 011 011|
再按第一行第一列的1展开 （-1）|11 11|
得-1乘以0 所以是0

计算行列式 |1+a1 1 …… 1 | | 1 1+a2 …… 1 | | …… …… …… | | 1 1 …… 1+an |

这是箭形行列式
ai不等于0时
第1行乘 -1 加到其余各行 得
1+a1 1 ... 1
-a1 a2 ... 0
... ...
-a1 0 ... an

第k列提出ak,k=1,2,...,n (注意ai不等于0) 得 a1a2a3...an*
1+1/a1 1/a2 ... 1/an
-1 1 ... 0
... ...
-1 0 ... 1

第2到n列加到第1列, 得一上三角行列式
1+∑1/ai 1/a2 ... 1/an
0 1 ... 0
... ...
0 0 ... 1

行列式 = a1a2a3...an( 1+ 1/a1+2/a2+...+1/an) = (1+∑1/ai)∏ai

解：原式=
1+a1 1 1 …… 1 1
1 1+a2 1 …… 1 1
1 1 1+a3 …… 1 1
…… …… …… …… …… …… ……
1 1 1 ……1+a<n-1> 1
1 1 1 …… 1 1+an
依次用第n行减去第n-1行，第n-1行减去第n-2行，……，第2行减去第1行，得
1+a1 1 1 …… 1 1
-a1 a2 0 …… 0 0
0 -a2 a3 …… 0 0
…… …… …… …… …… …… ……
0 0 0 …… a<n-1> 0
0 0 0 …… -a<n-1> an
按第一行展开，得
原式 = (1+a1)*a2*a3*a4*……*a<n-1>*an
＋ (-1)*(-a1)*a3*a4*……*a<n-1>*an
＋ [(-1)^2]*(-a1)*(-a2)*a4*……*a<n-1>*an
＋…………＋
＋ [(-1)^(n-2)]*(-a1)*(-a2)*(-a3)*……*(-a<n-2>)*an
＋ [(-1)^(n-1)]*(-a1)*(-a2)*(-a3)*……*(-a<n-2>)*(-a<n-1>)
= a1*a2*a3*a4*……*a<n-1>*an
＋a2*a3*a4*……*a<n-1>*an
＋ a1*a3*a4*……*a<n-1>*an
＋ a1*a2*a4*……*a<n-1>*an
＋…………＋
＋ a1*a2*a3*……*a<n-2>*an
＋ a1*a2*a3*……*a<n-2>*a<n-1>
(1) 若数列a1、a2、a3、……、an中至少有两个数等于零，则
行列式中就会出现至少两个以上均为1的相同行，
∴原行列式＝0
(2) 若数列a1、a2、a3、……、an中有且仅有一个数等于零，假设a i =0（其中i∈[1，n]）则
原行列式 ＝ a1*a2*a3*……* ai-1 * ai+1*……*an （数列中不算ai的其余n-1个数的乘积）
(3) 若数列a1、a2、a3、……、an均不为零，则
原行列式 ＝ a1*a2*a3*a4*……*a<n-1>*an * [ 1+1/a1+1/a2+1/a3+……+1/an ]

计算行列式 1 1 1 ……1 1 1 0 ……0 1 0 1 ……0 ...... 1 0 0 …… 1

c1-c2-...- 即把所有列乘-1加到第1列
第一行2-n 1 1 ……1
第二行0 1 0 ……0
第三 0 0 1 ……0
……
最后 0 0 0 …… 1
= 2-n.
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