代数几何简介及详细资料
正文
现代数学的一个重要分支学科。它的基本研究对象是在任意维数的（仿射或射影）空间中，由若干个代数方程的公共零点所构成的集合的几何特性。这样的集合通常叫做代数簇，而这些方程叫做这个代数簇的定义方程组。一个代数簇V的定义方程中的系数以及V中点的坐标通常是在一个固定的域k中选取的，这个域就叫做V的基域。当V为不可约时（即如果V不能分解为两个比它小的代数簇的并）,V上所有以代数式定义的函式全体也构成一个域，叫做V的有理函式域，它是k的一个有限生成扩域。通过这样的一个对应关系，代数几何也可以看成是用几何的语言和观点进行的有限生成扩域的研究。
代数簇V关于基域 k的维数可以定义为V的有理函式域在k上的超越次数。一维的代数簇叫做代数曲线,二维的代数簇叫做代数曲面。
代数簇的最简单的例子是平面中的代数曲线。例如，著名的费马猜想（又称费马大定理）就可以归结为下面的问题：在平面中，由方程
代数几何定义的曲线（称为费马曲线）当n≥3时没有坐标都是非零有理数的点。
另一方面，下面的齐次方程组
代数几何
在复数域上的射影空间中定义了一条曲线。这是一条椭圆曲线。
人们对代数簇的研究通常分为局部和整体两个方面。局部方面的研究主要是用交换代数方法讨论代数簇中的奇异点以及代数簇在奇异点周围的性质。
作为奇异点的例子,可以考察由方程xy所定义的平面曲线中的原点(0,0)。这是一个歧点。
不带奇异点的代数簇称为非奇异代数簇。数学家広中平祐在1964年证明了基域k的特征为0时的奇点解消定理：任意代数簇都是某个非奇异代数簇在双有理映射下的像。
一个代数簇V1到另一个代数簇V2的映射称为双有理映射，如果它诱导有理函式域之间的同构。两个代数簇V1，V2称为双有理等价的，如果在V1中有一个稠密开集同构于V2的一个稠密开集。这个条件等价于V1和V2的有理函式域同构。由于这个等价关系，代数簇的分类常常可以归结为对代数簇的双有理等价类的分类。
当前代数几何研究的重点是整体问题，主要是代数簇的分类以及给定的代数簇中的子簇的性质。同调代数的方法在这类研究中起著关键的作用。
代数几何中的分类理论是这样建立的：对每个有关的分类对象（这样的分类对象可以是某一类代数簇，例如非奇异射影代数曲线，也可以是有关的代数簇的双有理等价类），人们可以找到一组对应的整数，称为它的数值不变数。例如在射影代数簇的情形，它的各阶上同调空间的维数就都是数值不变数。然后试图在所有具有相同的数值不变数的分类对象组成的集合上建立一个自然的代数结构，称为它们的参量簇，使得当参量簇中的点在某个代数结构中变化时，对应的分类对象也在相应的代数结构中变化。目前建立有较完整的分类理论的只有代数曲线、代数曲面的一部分，以及少数特殊的高维代数簇。厰在研究得最深入的是代数曲线和阿贝尔簇的分类。
与子簇问题密切相关的有著名的霍奇猜想:设X是复数域上的一个非奇异射影代数簇，p为小于X的维数的一个正整数。则X上任一型为(p,p)的整上同调类中都有代数代表元。
1935年4月26日著名科学家爱因斯坦在追悼诺特的大会上说：“据现代权威数学家们判断，诺特女士是自从妇女开始受到高等教育以来最重要的、富于创造性的数学天才。在最有天赋的数学家们为之忙碌了多少世纪的代数领域里。她发现了一套方法，当前一代年轻数学家的成长已证明了它的巨大意义，依据这套方法，纯粹数学成了一首逻辑概念的诗篇。
诺特（EmmyNoether，1882－1935），1882年3月23日生于德国大学城——爱尔兰根的一个犹太人家庭，父亲马克思·诺特（MaxNoether，1844－1921）是一位颇有名气的数学家，他从1875年起到1921年逝世前，一直在爱尔兰根大学当教授。
弟弟弗黎获·诺特（FritzNoether，1884～）也是一位数学家，先在德国布雷斯劳工学院当教授，1935年受纳粹迫害逃往苏联，在西伯利亚托姆斯克数学力学研究所当教授，没多久被关进监狱，从此杳无音信。
诺特12岁时在爱尔兰根市高级女子学校读中学，她对那些专门为女孩子开设的宗教、钢琴、舞蹈等课程毫无兴趣，只对语言学习还感兴趣。中学毕业后，1900年4月她顺利地通过了法语和英语教师资格考试，原本准备去当教师，同年秋天她改变了主意，她决意要到父亲任教的爱尔兰根大学去学数学。
但是，当时德国不准女子在大学注册，只能当旁听生，并缴纳听课费，在极其罕见的情况下，才可能征得主讲教授的同意，参加考试而取得文凭。诺特总算幸运地于l903年7月通过了考试。当年冬天，她来到哥廷根大学，直接听到希尔伯特、克莱因、闵科夫斯基等著名数学家讲课，受到极大的鼓舞。1904年德国大学改制，允许女生注册，当年10月她便正式回到爱尔兰根注册学习，到1907年底，她通过了博士考试，其博士论文题目是“三元双二次型的不变数完全系”，导师是戈丹（PaulAlbertGordan，1837～1912）。
戈丹是诺特父亲的同事、至友，对诺特早年生活影响很大，诺特的这篇博士论文完全承袭了戈丹的工作特色，充满了戈丹式的公式，通篇都是符号演算。后来，尽管诺特离开了戈丹的研究方向，但她对导师一直怀着深深的敬意，在她的书房里一直挂著戈丹的画像。1912年戈丹去世了，接替他的先是施密特，后是费歇尔。在费歇尔指导下，诺特逐步实现了从戈丹的形式观念到希尔伯特研究方式的转变，从这种意义上讲，费歇尔对诺特的学术发展的影响，可能比戈丹更深入。
1915年，哥廷根大学的克莱因、希尔伯特邀请诺特去哥廷根。他们当时热衷于相对论研究，而诺特在不变式理论方面的实力对他们的研究会有帮助。1916年，诺特离开爱尔兰根，定居哥廷根。希尔伯特很想帮她在哥廷根大学取得授课资格，但是当时哥廷根大学哲学系中的语言学教授、历史学教授却极力反对，其理由就因诺特是女人。希尔伯特在校务会议上不无气愤地说：“先生们，我不明白为什么候选人的性别是阻碍她取得讲师资格的理由，我们这里毕竟是大学而不是浴池。”也许正因为这番话，更激怒了他的对手们，诺特仍然没有获准通过。
然而，她还是在哥廷根的讲台上向学生讲了课，不过是在希尔伯特的名义之下。第一次世界大战结束后，德意志共和国成立了，情况才发生变化。1919年诺特才当上了讲师，1922年至1933年，她取得“编外副教授”职位，这是没工资的头衔，只因她担当了代数课的讲授，才从学生所缴学费中支付给她一小笔薪金。在这种艰难的情况下，诺特在希尔伯特、克莱因的相对论研究的思想影响下，于1918年发表了两篇重要论文，一篇是把黎曼几何和广义相对论中常用的微分不变式问题化为代数不变式问题，一篇是把物理学中守恒律同不变性联系起来，被称为“诺特定理”。
1920年以后，诺特开始走上自己独立创建“抽象代数学”的道路。她从不同领域的相似现象出发，把不同的对象加以抽象化、公理化，然后用统一的方法加以处理，得出一般性的理论，用她的这种理论又能处理各个不同领域的特殊性的问题。诺特的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论，完成于1926年。一般认为抽象代数形式的时间就是1926年，从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一。诺特的学术论文只有40多篇，她对抽象代数学发展所产生的巨大影响，并不完全出自她的论文，更重要的还是出自她与同事、学生的接触、交往、合作与讲课。她的讲课技巧并不高明，既匆忙又不连贯。但是，她常详细叙述自己尚末最终定型的新想法，其中充满了深刻的哲理，也充满了不同凡响的创造 *** 。她很喜爱自己的学生，在她身边形成了一个熙熙攘攘的“家庭”，这些学生被称为“诺特的孩子们”。其中有十几位学生后来成为著名数学家。1928年在义大利波隆那举行的国际数学家大会上，诺特应邀作了一个3O分钟的分组报告。1932年在苏黎世举行的国际数学家大会上，诺特作了一小时的全会报告。她的报告得到许多数学家的赞扬，赢得了极高的国际声誉。一些年迈的数学家亲眼得见他们用旧式计算方法不能解决的问题，被诺特用抽象代数方法漂亮而简捷地解决了，不得不心悦诚服。同年，由于她在代数学方面的卓越成就，诺特和阿廷共同获得了“阿克曼·特布纳奖”。可，大会之后仅几个星期厄运降临了。1933年1月，希特勒上台后疯狂地迫害犹太人，当年4月26日，地方报纸刊登了一项通告，哥廷根大学6位犹太人教授被勒令离开大学，其中之一就是诺特。霎时间，诺特在哥廷根大学的报酬极低的职务被剥夺了，她几乎走投无路了。起初，她曾想去前苏联。因为在1928年至1929年的冬天，她访问过莫斯科大学，在那里讲授抽象代数，并指导一个代数几何讨论班，对前苏联数学和数学家都产生了良好的影响，与前苏联著名数学家亚历山得罗夫等也给下了友谊。亚历山得罗夫当即表示欢迎诺特来莫斯科大学任教，由于种种原因，未能成功。后来，经著名数学家韦尔介绍和帮助，1933年9月，诺特才得以移居美国，在美国布林马尔女子学院任教，并在普林斯顿高等研究院 *** 。
在美国期间，诺特每周去普林斯顿讲课，当时听她讲课的奎因教授回忆说，诺特身材不高，体态略胖，肤色黝黑，剪得短短的黑发还夹着几缕灰丝。她戴着一副厚厚的近视眼镜，用不甚连贯的英语讲课。她喜欢散步，常与学生外出远足，途中往往全神贯注地谈论数学，不顾来往的行人与车辆，以致学生们不得不保护她的安全。在诺特一生中，或许从来没有像在布林马尔学院和普林斯顿高等研究院，受到如此尊敬、同情和友情。但是，她依然怀念著祖国，怀念著哥廷根。1934年夏天，她曾回到哥廷根，看到哈塞仍然努力重建哥廷根光荣而悠久的数学传统，感到由衷的欣慰。
1935年春，当诺特返回美国后，经医生检查发现，她已被癌症缠身，肿瘤急剧地损伤着她的身体，只有手术才可能挽救她的生命。手术后病情一度好转，大家都期待她康复。不料得了手术并发症。
4月14日这位终生未婚，把全部精力献给了她所热爱的数学事业的伟大女数学家，辞然与世长辞，终年53岁。4月26日布林马尔学院为诺特举行了追悼会，爱因斯坦为她写了讣文，韦尔为她写了长篇悼词，深情地缅怀她的生活、工作和人格：
她曾经是充满生命活力的典范，
以她那刚毅的心情和生活的勇气，
坚定地屹立在我们这个星球上，
所以大家对此毫无思想准备。
她正处于她的数学创造能力的顶峰。
她那深远的想像力，
同她那长期经验积累起来的技能，
已经达到完美的平衡。
她热烈地开始了新问题的研究。而这一切现在突然宣告结束，
她的工作猝然中断。
坠落到了黑暗的坟墓，
美丽的、仁慈的、善良的，
他们都轻轻地去了；
聪颖、机智的、勇敢的，
他们都平静地去了；
我知道，但我决不认可，
而且我也不会顺从。
代数几何我们对她的科学工作与她的人格的记忆决不会很快消逝。她是一位伟大的数学家，而且我坚信，也是历史曾经产生过的最伟大的女性之一
发展
代数几何的起源很自然地是从关于平面中的代数曲线的研究开始的。对于一条平面曲线，人们首先注意到的一个数值不变数是它的次数，即定义这条曲线的方程的次数。由于次数为一或二的曲线都是有理曲线（即在代数几何的意义下同构于直线的曲线），人们今天一般认为，代数几何的研究是从19世纪上半叶关于三次或更高次的平面曲线的研究开始的（早期人们研究的代数簇都是定义在复数域上的）。例如，N.H.阿贝尔在1827～1829年关于椭圆积分的研究中，发现了椭圆函式的双周期性，从而奠定了椭圆曲线（它们都可以表示成平面中的三次曲线）理论基础。另一方面，C.G.J.雅可比考虑了椭圆积分反函式问题，他的工作是今天代数几何中许多重要概念的基础（如曲线的雅可比簇、θ函式等）。
B.黎曼1857年引入并发展了代数函式论，从而使代数曲线的研究获得了一个关键性的突破。黎曼把他的函式定义在复数平面的某种多层复迭平面上，从而引入了所谓黎曼曲面的概念。用现代的语言，紧致的黎曼曲面就一一对应于抽象的射影代数曲线。运用这个概念，黎曼定义了代数曲线的一个最重要的数值不变数：亏格。这也是代数几何历史上出现的第一个绝对不变数（即不依赖于代数簇在空间中的嵌入的不变数）。黎曼还首次考虑了亏格g 相同的所有黎曼曲面的双有理等价类的参量簇问题，并发现这个参量簇的维数应当是3g-3，虽然黎曼未能严格证明它的存在性。
黎曼还套用解析方法证明了黎曼不等式：l（D）≥d(D)-g+1,这里D是给定的黎曼曲面上的除子。随后他的学生G.罗赫在这个不等式中加入一项，使它变成了等式。这个等式就是著名的F.希策布鲁赫和A.格罗腾迪克的黎曼-罗赫定理的原始形式（见代数函式域）。 代数几何 - 内容 在黎曼之后，德国数学家M.诺特等人用几何方法获得了代数曲线的许多深刻的性质。诺特还对代数曲面的性质进行了研究。他的成果给以后义大利学派的工作建立了基础。
从19世纪末开始，出现了以G.卡斯特尔诺沃，F.恩里奎斯和F.塞维里为代表的义大利学派以及以H.庞加莱、(C.-)É.皮卡和S.莱夫谢茨为代表的法国学派。他们对复数域上的低维代数簇的分类作了许多非常重要的工作，特别是建立了被认为是代数几何中最漂亮的理论之一的代数曲面分类理论。但是由于早期的代数几何研究缺乏一个严格的理论基础，这些工作中存在不少漏洞和错误，其中个别漏洞直到目前还没有得到弥补。
20世纪以来代数几何最重要的进展之一是它在最一般情形下的理论基础的建立。20世纪30年代，O.扎里斯基和B.L.范·德·瓦尔登等首先在代数几何研究中引进了交换代数的方法。在此基础上，A.韦伊在40年代利用抽象代数的方法建立了抽象域上的代数几何理论，然后通过在抽象域上重建义大利学派的代数对应理论，成功地证明了当k是有限域的时候,关于代数曲线ζ函式具有类似于黎曼猜想的性质。50年代中期，法国数学家J.P.塞尔把代数簇的理论建立在层的概念上，并建立了凝聚层的上同调理论，这个为格罗腾迪克随后建立概型理论奠定了基础。概型理论的建立使代数几何的研究进入了一个全新的阶段。概型的概念是代数簇的推广，它允许点的坐标在任意有单位元的交换环中选取，并允许结构层中存在幂零元。
概型理论的另一个重要意义是把代数几何和代数数域的算术统一到了一个共同的语言之下，这使得在代数数论的研究中可以套用代数几何中大量的概念、方法和结果。这种套用的两个典型的例子就是：①P.德利涅于1973年把韦伊关于ζ函式的定理推广到了有限域上的任意代数簇,即证明了著名的韦伊猜想,正是利用了格罗腾迪克的概型理论。②G.法尔廷斯在1983年证明了莫德尔猜想。这个结果的一个直接推论是费马方程x+y=1在n≥4时最多只有有限多个非零有理解，从而使费马猜想的研究获得了一个重大突破。
在另一方面，20世纪以来复数域上代数几何中的超越方法也得到了重大的进展,例如G.-W.德·拉姆的解析上同调理论，W.V.D.霍奇的调和积分论的套用，以及小平邦彦和D.C.斯潘塞的变形理论以及P.格里菲思的一些重要工作等。
周炜良对20世纪前期的代数几何发展作出了许多重要的贡献。他建立的周环,周簇,周坐标等概念对代数几何的许多领域的发展起了重要的作用。他还证明了著名的周定理：若一个紧致复解析流形是射影的，则它必定是代数簇。
20世纪后期，在古典的复数域上低维代数簇的分类理论方面也取得了许多重大进展。在代数曲线的分类方面，由于D.B.芒福德等人的工作，人们现在对代数曲线参量簇 Mg已经有了极其深刻的了解。芒福德在60年代把格罗腾迪克的概型理论用到古典的不变数理论上，从而创立了几何不变数理论,并用它证明了Mg的存在性以及它的拟射影性。人们已经知道 Mg是一个不可约代数簇，而且当g≥24时是一般型的。目前对Mg的子代数簇的性质也开始有所了解。
代数曲面的分类理论也有很大的进展。例如,60年代中期小平邦彦彻底弄清了椭圆曲面的分类和性质；1976年,丘成桐和宫冈洋一同时证明了一般型代数曲面的一个重要不等式:с娝≤3с2,其中с娝和с2是曲面的陈数。同时，三维或更高维代数簇的分类问题也开始引起人们越来越大的兴趣。
代数几何与数学的许多分支学科有着广泛的联系。除了上面提到的数论之外，还有如解析几何、微分几何、交换代数、 代数群、K理论、拓扑学等。代数几何的发展和这些学科的发展起着相互促进的作用。同时，作为一门理论学科，代数几何的套用前景也开始受到人们的注意，其中的一个显著的例子是代数几何在控制论中的套用。
近年来，人们在现代粒子物理的最新的超弦理论中，已广泛套用代数几何工具，这预示古老的代数几何学将对现代物理学的发展发挥重要的作用。
