微分方程怎么解?

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1 微分方程

要了解微分方程,得从微分说起,微分的核心是变化率。就比如速度v = d x d t v=\frac{dx}{dt}v= 

dt

dx

,即每一时刻距离的变化;而加速度a = d v d t a=\frac{dv}{dt}a= 

dt

dv

,即每一时刻速度的变化。

有了这个概念后,我们再来看微分方程,简单来说就是由变化率构成的一个方程。其使用场景为:描述相对变量比绝对量更容易时。

微分方程分为两部分:

常微分方程(Ordinary Differential Equations, ODE):函数自变量只有一个,如:y ′ ( x ) = p y + q y'(x)=py+qy 

(x)=py+q。

偏微分方程(Partial Differential Equations, PDE):函数有多个自变量,如:∂ T ∂ t ( x , y , t ) = ∂ 2 T ∂ x 2 ( x , y , t ) + ∂ 2 T ∂ y 2 ( x , y , t ) \frac{\partial T}{\partial t}(x,y,t)=\frac{\partial^2T}{\partial x^2}(x,y,t)+\frac{\partial^2T}{\partial y^2}(x,y,t) 

∂t

∂T

(x,y,t)= 

∂x 

2

∂ 

2

T

(x,y,t)+ 

∂y 

2

∂ 

2

T

(x,y,t)

微分方程也可以分为一阶方程和高阶方程,具体的组成(解法)如下图:

微分方程

2 一阶方程

2.1 一阶线性微分方程

形如:

y ′ + p ( x ) y = q ( x ) y'+p(x)y=q(x)

+p(x)y=q(x)

若:

q ( x ) = 0 q(x)=0q(x)=0,则是一阶线性齐次微分方程;

q ( x ) ≠ 0 q(x)≠0q(x) 

=0,则是一阶线性非齐次微分方程;

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