Question

微分方程怎么解？

Answer 1

1 微分方程

要了解微分方程，得从微分说起，微分的核心是变化率。就比如速度v = d x d t v=\frac{dx}{dt}v= 

dt

dx

，即每一时刻距离的变化；而加速度a = d v d t a=\frac{dv}{dt}a= 

dt

dv

，即每一时刻速度的变化。

有了这个概念后，我们再来看微分方程，简单来说就是由变化率构成的一个方程。其使用场景为：描述相对变量比绝对量更容易时。

微分方程分为两部分：

常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODE）：函数自变量只有一个，如：y ′ ( x ) = p y + q y'(x)=py+qy 

′

(x)=py+q。

偏微分方程（Partial Differential Equations, PDE）：函数有多个自变量，如：∂ T ∂ t ( x , y , t ) = ∂ 2 T ∂ x 2 ( x , y , t ) + ∂ 2 T ∂ y 2 ( x , y , t ) \frac{\partial T}{\partial t}(x,y,t)=\frac{\partial^2T}{\partial x^2}(x,y,t)+\frac{\partial^2T}{\partial y^2}(x,y,t) 

∂t

∂T

(x,y,t)= 

∂x 

2

∂ 

2

T

(x,y,t)+ 

∂y 

2

∂ 

2

T

(x,y,t)

微分方程也可以分为一阶方程和高阶方程，具体的组成（解法）如下图：

微分方程

2 一阶方程

2.1 一阶线性微分方程

形如：

y ′ + p ( x ) y = q ( x ) y'+p(x)y=q(x)

y 

′

+p(x)y=q(x)

若：

q ( x ) = 0 q(x)=0q(x)=0，则是一阶线性齐次微分方程；

q ( x ) ≠ 0 q(x)≠0q(x) 

=0，则是一阶线性非齐次微分方程；