Question

sinx/(sinx+cosx)的不定积分怎么求？

Answer 1

计算过程如下：

sinx/(sinx+cosx)的不定积分

=∫ (sinxcosx)/(sinx + cosx) dx

= (1/2)∫ (2sinxcosx)/(sinx + cosx) dx

= (1/2)∫ [(1 + 2sinxcosx) - 1]/(sinx + cosx) dx

= (1/2)∫ (sin²x + 2sinxcosx + cos²x)/(sinx + cosx) dx - (1/2)∫ dx/(sinx + cosx)

= (1/2)(- cosx + sinx) - [1/(2√2)]ln|csc(x + π/4) - cot(x + π/4)| + C

不定积分的证明：

如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x).即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。

设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。

由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。

Answer 2

设 sinx = a(sinx+cosx) + b(cosx-sinx)， 则 a-b = 1， a+b = 0
解得 a =1/2， b = -1/2
则 ∫[sinx/(sinx+cosx)]dx = (1/2)∫[(sinx+cosx) - (cosx-sinx)]dx/(sinx+cosx)
= (1/2)[∫dx - ∫d(sinx+cosx)/(sinx+cosx)]
= (1/2)[x - ln|sinx+cosx|] + C