基于对似然函数L(θ)形式(一般为连乘式且各因式>0)的考虑,求θ的最大似然估计的一般步骤如下:
(1)写出似然函数
总体X为离散型时:
总体X为连续型时:
(2)对似然函数两边取对数有
总体X为离散型时:
总体X为连续型时:
(3)对
求导数并令之为0:
此方程为对数似然方程。解对数似然方程所得,即为未知参数 的最大似然估计值。
最大似然估计函数在采样样本总数趋于无穷的时候达到最小方差(其证明可见于Cramer-Rao lower bound)。当最大似然估计非偏时,等价的,在极限的情况下我们可以称其有最小的均方差。对于独立的观察来说,最大似然估计函数经常趋于正态分布。