Question

证明证明实对称矩阵是正定矩阵的充要条件是它的特征值都是正数

Answer 1

这个问题首先要知道什么是正定阵,以及实对称矩阵的性质.
第一正定阵定义:A正定,就是任意非零列向量x,x'Ax>0[这里注意x'Ax按照矩阵乘法后是一个数,既不是矩阵也不是向量]
第二谱分解定理:实对称矩阵A,存在正交矩阵P,使得 P'AP为对角形,对角线上是A的n个特征值,即P'AP=diag.
我们先来证明充分性
A实对称,则存在正交矩阵P'AP=diag,对角线上是n个特征值.
当对角线上特征值全是正数时:对任意的非零向量x,y=Px(此时x和y一一对应).则y'Ay=x'P'APx=x'diagx
此时x'diagx按照矩阵乘法展开,可见是正数.这就说明了这样一个结论:任意非零向量y,令x=P逆y,则y'Ay>0,满足正定定义.
反之,当A正定时,任意的向量尤其列向量x=(1,0...0)',令y=Px,那么y'Ay=x'P'APx=x'diagx=k1(对角阵的第一个元素,也就是A的第一个特征值).按照正定定义y'Ay>0,所以k1>0.
一下分别取x=(0,1,...0)'直到x=(0,.,0,1),就会有对角阵上(2,2)位(3,3)位直到(n,n)位的元素是正数,因此n个特征值都大于0.
本题的关键是要会运用正定性的定义(非零向量x的任意性,二次型是个数),谱分解定理(P是由A唯一决定的,对角阵对角线上是n个特征值)