Question

证明3的6n次方-2的6n次方能被35整除,n为任意正整数

Answer 1

3^(6n)-2^(6n)
=[3^(3n)-2^(3n)][3^(3n)+2^(3n)]
=(27^n-8^n)(27^n+8^n)
27^n+8^n=(35-8)^n+8^n
利用二项式展开,可知n为奇数时,
27^n+8^n=(35-8)^n+8^n
=8^n+(-8+35)^n
展开式的第一项为-8^n可以与8^n抵消,其余项都含有35这个因子,所以
(35-8)^n+8^n≡0,(MOD35),n为奇数时；
同理n为偶数时,n可写为n=m*2^k,其中m是一个奇数.我们利用平方差公式,逐渐分解(27^n-8^n),直至得到因子(27^m+8^m)而该因子可被35整除.
所以对任意自然数n
3^(6n)-2^(6n)≡0,(MOD35)