Question

如何证明(-1)的n次方是发散数列？

Answer 1

用反证法！

假设该数列的极限为A，即：lim(n→+∞) (-1)^n = A

于是：

对于∀ε>0，∃N∈N+，当n>N时，

|(-1)^n - A|<ε成立

又∵

|(-1)^n| - |A| ≤ |(-1)^n - A| <ε

|(-1)^n| < |A|+ε
当n为偶数时：

1<|A|+ε

当n为奇数时：

-1<|A|+ε

上述两式的成立与N无关，即：不关N取怎么样的值，都不能在n>N时，上述两式必然成立！
因此，与假设矛盾，假设错误！

设数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列.

定义：设有数列xn , 若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn|<M成立，则称数列xn有界。

定理1：如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界

，不一定收敛；数列发散不一定无界。

数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件

如果数列{Xn}收敛于a，且a>0（或a<0），那么存在正整数N，当n>N时，都有Xn>0（或Xn<0）。