Question

求直线方程的问题

Answer 1

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问题描述:

已知圆C:(x-1)^2+(y-2)^2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R)

(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交

（2）求直线l被圆C截得的最短弦长及此时的直线方程

解析:

（1）证明：

易知直线过定点A（3，1）, 圆心为C（1，2）,圆的半径R=5

所以 CA=√5，而圆的半径R=5>√5

所以 点A在圆C中，不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交 。证毕

(2)解:

要弦最短,只要圆心C到直线的距离最长。

∵直线过定点A（3，1）

直线是CA的垂线，且垂足为点A保证圆心C到直线的距离最长。

设CA所在直线方程为y=ax+b，则有：

2=a+b

1=3a+b 解得：

a=-1/2

b=5/2

CA所在直线方程为y=-1/2x+5/2

设此时的直线方程为y=a’x+b’

∵二直线垂直

∴a’=-1/a=2

又∵此时的直线也过定点A（3，1）

∴3=2+b’，求得：b’=-5

此时的直线方程y=2x-5

弦^2=4(半径^2-圆心到直线的距离^2)

=4*√5,

答：直线l被圆C截得的最短弦长4*√5及此时的直线方程y=2x-5 。