Question

已知多项式3x³+ax²+bx+1除以x²+1,余式得3x+1,求（-a）的b次方？

Answer 1

用3x³+ax²+bx+1除以x²+1得:
3x³+ax²+bx+1=(x²+1)(3x+a)+(b-3)x+(1-a)
余式为:(b-3)x+(1-a)
由 (b-3)x+(1-a)=3x+1
得 b-3=3, b=6; (1-a)=1, a=0
∴ (-a)^b=(-0)^6=0,8,分析：本题采用逆推法。
（x²+1）（3x+1）=3x³+x²+3x+1
所以a=1,b=3
（-a）的b次方=-1,1,多项式3x³+ax²+bx+1除以x²+1，余式得3x+1
即3x³+ax²+bx+1=（x²+1）（3x+1）=3x³+x²+3x+1
所以a=1
b=3
（-a）的b次方=（-1）³=-1,1,3x³+ax²+bx+1= (x²+1)( 3x+a) + 3x+1 = 3x³+ax² +3x + a + 3x + 1 = 3x³+ax² + 6x + (1+a)
比较两边系数，得 b=6, 1+a=1, a=0
所以，(-a)^b = 0,0,