Question

若a∈(0，1)，求证:a3<a2<2a

Answer 1

对于任意的a∈(0，1)，a的平方一定小于a本身。又因为a的立方一定小于a的平方，所以a的立方一定小于a。
根据二次函数的性质，对于y=ax^2+bx+c(a>0)在x=0处的导数一定大于0。所以当x∈(0,1)时，y=x^2+x的导数一定大于1。由于导数的定义是斜率，所以y=x^2+x比y=x在x∈(0,1)上单调递增。
所以对于x∈(0,1)，有x^2>x。
所以a^3<a^2<a
再证明2a>a^2
对于a∈(0，1)，有2a>1>a。
又因为a^2<a，所以2a>a^2。
综上所述，对于a∈(0，1)，有a^3<a^2<2a。
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