Question

求一维简单晶格的模式密度

Answer 1

§3-6 晶格振动的模式密度3. 6. 1 晶格模式密度定义为了准确求出晶格热容以及它与温度的变化关系，必须用较精确的办法计算出晶格振动的模式密度（也叫频率分布函数）。原则上讲，只要知道了晶格振动谱ωj(q)，也就知道了各个振动模的频率，模式密度函数g(ω)也就确定了。但是，一般来说，ω与q之间的关系是复杂的，除非在一些特殊的情况下，得不到g(ω)的解析表达式，因而往往要用数值计算。图3-6-1给出了一个实际的晶体（钾）的模式密度，同时给出了德拜近似下的模式密度进行比较，可以看出除在低频极限以外，两个模式密度之间存在有一定的差别。这可以说明为什么德拜热容理论只是在极低温下才是严格正确的。因为在极低温下，只有那些低频振动模才对热容有贡献。了解晶格振动模密度的意义不仅局限于晶格热容的量子理论。实际上，计算所有热力学函数时都要涉及到对各个晶格振动模的求和，这就需要知道模式密度函数。以后还会看到，在讨论晶体的某些电学性质、光学性质时，也要用到晶格振动模式密度函数。根据式（3-5-12），我们可以定义：…………………………………………………………（3-6-1）Δn表示在ω—ω+Δω间隔内晶格振动模式的数目，如果在q空间中，根据ω (q)=常数作出等频面，那么在等频面ω和ω+Δω之间的振动模式的数目就是Δn。由于晶格振动模（格波）在q空间分布是均匀的，密度为V/（V为晶体体积），因此有：…………（3-6-2）如图3-6-2所示，等频面间的体积可表示成对体积元dsdq在面上的积分：…………………………………………………（3-6-3）其中dq表示两等频率面间的垂直距离，ds为面积元，显然因为表示沿法线方向频率的改变率。因此………（3-6-4）从而得到模式密度的一般表达式………（3-6-5）3. 6. 2 一维单原子链的模式密度对于一维情况，q空间的密度约化为L/2π，L=Na为单原子链的长度，其中a为原子间距，N为原子数目。则在q空间内振动模式数目为。dω频率间隔内的振动模式数目为：
…………………………………………………………（3-6-6）等式右边的因子2来源于ω(q)具有中心反演对称，q>0和q<0区间的完全等价的。从而有…………………………………………………………（3-6-7）这是公式（3-6-7）在一维情况时的简化形式。对于一维单原子链，只计入最近邻原子之间的相互作用时，有其中为最大频率。代入（3-6-7）式可以得到：…………………………………………（3-6-8）3. 6. 3 分析ω=c的模式密度首先回顾一下德拜近似的模式密度，德拜近似的核心是假定频率正比于q。即代入（3-6-5）式，容易得到：…………………………………（3-6-9）下面，我们以色散关系为ω=c为例，分析其三维、二维及一维情况下的模式密度。（1） 三维情况模式密度对于三维情况，ω=c……………………………………………（3-6-10）在q空间等频率面为球面，半径为：在球面上，是一个常数，且球面积分为：，因此：……………………………………………（3-6-11）（2）二维情况模式密度对于二维情况，q空间也约化为二维空间，其等频面实际为一个圆，圆半径为：二维情况下的q空间中的密度为：A/(2π)，（这里A为二维晶格的面积），而且有：所以对于ω=c，二维情况的模式密度为：…………………（3-6-12）（3）一维情况同理，在一维情况下，q空间有两个等频点+q和-q。仿上面的方法可以得到：……………（3-6-13）总之，色散关系为ω=c的形式时，在三维、二维和一维情况下，模式密度分别与频率ω的½，0，-½次方成比例。3. 6. 4 模式密度的范霍夫奇点从（3-6-5）式可以看出，在对q的梯度为零的地方，g(ω)应显示出某种奇异性，我们称的点为范霍夫奇点，也称为临界点。例：一维单原子链的范霍夫奇点对于一维单子链，模式密度为，显然：当ω→（或q=±π/a时，g(ω)→∞，即为一维单原子情况的范霍夫奇点，如图3-6-3所示。,
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晶格振动的模式密度
§3-6 晶格振动的模式密度
3. 6. 1 晶格模式密度定义
为了准确求出晶格热容以及它与温度的变化关系，必须用较精确的办法计算出晶格振动的模式密度（也叫频率分布函数）。原则上讲，只要知道了晶格振动谱ωj(q)，也就知道了各个振动模的频率，模式密度函数g(ω)也就确定了。但是，一般来说，ω与q之间的关系是复杂的，除非在一些特殊的情况下，得不到g(ω)的解析表达式，因而往往要用数值计算。图3-6-1给出了一个实际的晶体（钾）的模式密度，同时给出了德拜近似下的模式密度进行比较，可以看出除在低频极限以外，两个模式密度之间存在有一定的差别。这可以说明为什么德拜热容理论只是在极低温下才是严格正确的。因为在极低温下，只有那些低频振动模才对热容有贡献。

Answer 2

一维简单晶格的色散关系曲线如图所示,由色散曲线的对称型可以看出,区间对应两个同样大小的波矢区间dq,区间对应L/a个振动模式,单位波矢区间应有L/2个振动模式。Dw范围内包含:个振动模式,单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度,根据这一定义可得模式密度。