Question

两个自然数的和是99,它们最大公因数和最小公倍数的和是231,那么这两个数分别是多少

Answer 1

设最大公因数为m，则两个数可以表示为am，bm，其中a，b互质。不妨设a<b, 最小公倍数是abm
am+bm=99， m+abm=231
即：（a+b)m=3x33, m(1+ab)=7x33
两式相除得
(a+b)/(1+ab)=3/7
3ab-7a-7b+3=0
9ab-21a-21b+9=0
3a(3b-7)-21b+49-40=0
3a(3b-7)-7(3b-7)=40
(3a-7)(3b-7)=40
显然3a-7, 3b-7都是40的因数
40=1x40=2x20=4x10=5x8
3a-7=1,2,4,5分别计算a，只有3和4两种整数解
a=3，则b=9 ab不互质，所以舍去
a=4，b5是唯一解
m=99÷（a+b）=11
两个数是44和55

Answer 2

这两个数分别是44和55.
设两个自然数的最大公因数是m,两个自然数分别为am,bm(a,b互质),则它们的最小公倍数是abm.
由已知条件得am+bm=99,m+abm=231,即(a+b)m=99,(1+ab)m=231,所以m同时整除99和231.
99和231的最大公约数是33,所以m整除33.所以m可能是1,3,11,33.
当m=1时,a+b=99,1+ab=231,a,b无整数解.
当m=3时,a+b=33,1+ab=77,a,b无整数解.
当m=11时,a+b=9,1+ab=21,解得a=4,b=5或a=5,b=4.这两个数分别是44和55.
当m=33时,a+b=3,1+ab=7,a,b无整数解.
所以这两个数分别是44和55.