Question

不定积分与定积分的计算公式

Answer 1

 例如以下不定积分的计算。

• 根式换元法：

设√(x+2)=t，则x=(t^2-2),代入得：

∫x√(x+2)dx

=∫t*(t^2-2)d(t^2-2),

=2∫t^2*(t^2-2)dt,

=2∫(t^4-2t^2)dt,

=2/5*t^5-4/3*t^3+C,

=2/5*(x+2)^(5/2)-4/3*(x+2)^(3/2)+C,



请点击输入图片描述

• 凑分法不定积分：

∫x√(2x^2+1)^3dx

=(1/2)∫√(2x^2+1)^3dx^2

=(1/4)∫√(2x^2+1)^3d2x^2

=(1/4)∫(2x^2+1)^(3/2)d(2x^2+1)

=(1/4)*(2/5)* (2x^2+1)^(5/2)+C.

=(1/10)* (2x^2+1)^(5/2)+C.



请点击输入图片描述

• 分部积分法计算不定积分：

∫x^4 (lnx)^2dx

=(1/5)∫(lnx)^2dx^a11，以下第一次使用分部积分法，

=(1/5) (lnx)^2*x^5-(1/5)∫x^5d(lnx)^2

=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/5)∫x^5*lnx*(1/x)dx

=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/5)∫x^4*lnxdx

=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/25)∫lnxdx^5,



请点击输入图片描述

以下第二次使用分部积分法，

=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/25)lnx*x^5+(2/25)∫x^5dlnx

=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/25)lnx*x^5+(2/25)∫x^5*1/xdx

=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/25)lnx*x^5+(2/25)∫x^adx

=(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/25)lnx*x^5+(2/125)x^5+c

=x^5 [(1/5) (lnx)^2-(2/25)lnx+(2/125)]+c

=(1/125)x^5 [25 (lnx)^2-10lnx+2]+c.



请点击输入图片描述

• 凑分及分部积分法

∫(10x^2+x+1)lnxdx

=∫lnxd(10x^3/3+x^2/2+x),对幂函数部分进行凑分，

=lnx*(10x^3/3+x^2/2+x)-∫(10x^3/3+x^2/2+x)dlnx

=lnx*(10x^3/3+x^2/2+x)-∫(10x^3/3+x^2/2+x)dx/x

=lnx*(10x^3/3+x^2/2+x)-∫(10x^2/3+x/2+1)dx

=lnx*(10x^3/3+x^2/2+x)-(10x^3/9+x^2/4+x)+C。



请点击输入图片描述

• 不定积分概念

设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中，C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，又叫做函数f(x)的反导数，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。



请点击输入图片描述

其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。

Answer 2

∫cscxdx

=∫1/sinx dx

=∫1/[2sin(x/2)cos(x/2)] dx

=∫1/[sin(x/2)cos(x/2)] d(x/2)

=∫1/ [cos^2(x/2) * tan(x/2) ]d(x/2)

=∫sec^2(x/2)/tan(x/2) d(x/2)

=∫1/tan(x/2) d(tan(x/2))

=ln|tan(x/2)|+C

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C