Question

圆的斜投影是椭圆，椭圆的投影还是椭圆？

Answer 1

分类: 理工学科
问题描述:

请问从数学上怎么证明一个圆在平面上的斜投影是一个椭圆？并且一个椭圆在一个平面上的投影还是一个椭圆（也可能退化成一个直线等），这些从直觉上说好像是对的，但是不太明白道理。谢谢。

比如，一个椭圆在平面上的投影后的那个图形，肯定还符合椭圆方程？不知道从数学上怎么证明。

希望给出令人信服，可以说服直觉的证明。

谢谢！

解析:

先假设圆或者椭圆都是由无数个短小的线段组成的形状，当线段数量无限时，这个圆是完美的。

先说正圆的投影问题。

我们先做个直角三角形，把一段正圆的线段A当成是三角形的斜边，那么投影的长度就是B＝cos(X)A，X是投影的角度（也可以说是正圆平面相对于投影底面的角度），把所有的无数的线段都投影下来，可以理解投影会形成一个连续的平面图形。由于投影时的光线角度X是固定的，所以所有B相对于A的变形比率（COS(X)）是固定的，也就相当于我们把一个圆做了某一个经由中心的直线上双向的拉伸或者压缩变形。常理知道，把圆以中心为原点，经由原点划一直线，然后延该直线两边同步拉伸或者压缩该圆，就会形成一个椭圆。所有，我们投影出来的那个图形也是一个椭圆形。

椭圆投影的问题也是一样的。

唯一不同的是，在大多数情况下椭圆投影的后都是椭圆，只有在某个特殊的角度时，才会形成正圆。

比如，椭圆的a、b轴长为A（长）、B（短），当B=Cos(X)A的时候，也就是说投影角度为X时，会出现正圆。