Question

这个极限这么算怎么不对？

答案是2分之1+6分之ln2，我这个步骤哪里出错了吗？求助谢谢

Answer 1

x->0

sin(x^2)=x^2 +o(x^5)

2+sin(x^2)=2+x^2 +o(x^5)

(2+sin(x^2))^x

=[2+x^2 +o(x^5)]^x

=2^x .( 1+ (1/2)x^2+ o(x^5))^x

~ 2^x . e^[(1/2)x^3]

2^(sinx)

=2^( x -(1/6)x^3+o(x^3))

=2^x . 2^( -(1/6)x^3+o(x^3))

~2^x . {  1 + (ln2). [-(1/6)x^3] }

(2+sin(x^2))^x -2^(sinx)

~2^x . e^[(1/2)x^3] -2^x . {  1 + (ln2). [-(1/6)x^3] }

=2^x .{ [ e^[(1/2)x^3] -1]   +(1/6)(ln2)x^3 }

~2^x .{ (1/2)x^3   +(1/6)(ln2)x^3 }

//

lim(x->0)[(2+sin(x^2))^x - 2^(sinx) ]/x^3

=lim(x->0) 2^x .{ (1/2)x^3  +(1/6)(ln2)x^3 }/x^3

=lim(x->0) { (1/2)x^3   +(1/6)(ln2)x^3 }/x^3

=lim(x->0) { (1/2)   +(1/6)(ln2) }

=1/2 +(1/6)(ln2)