Question

求椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0)的离心率范围

已知椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0)的右焦点为F，右准线与X轴交点A，P为椭圆上任一点，线段AP的中垂线经过点F，求离心率的取值范围。

Answer 1

存在P为椭圆上的一点，使线段AP的中垂线经过点F
根据中垂线性质 PF=AF ∵PF=（a²/c）-c = [（a+c）(a-c)]/c² ①
P在椭圆上 所以 a-c≤PF≤a+c 由①知PF>a-c
∴只需证PF≤a+c 即（a²/c）-c≤a+c
化简得 2c²+ac-a²≥0 因式分解 (c+a)(2c-a)≥0
==> 2c≥a 即a/c≤2 ==> c/a≥1/2 即e≥1/2
又∵e∈（0,1） ∴e的范围 [1/2,1）

Answer 2

存在P为椭圆上的一点，使线段AP的中垂线经过点F
的充要条件 是存在一点P，使 PF=AF，因为AF为定值 a^2/c-c
而P在椭圆上运动时， a+c<=PF<=a-c<AF=a^2/c-c
所以只要 a+c<=a^2/c-c 时，满足AP的中垂线经过点F的P点就存在
即 ac+2c^2-a^2<=0 ==>2e^2+e-1<=0 ==>-1<=e<=1/2
因为 0<e<1 所以 0<e<=1/2