Question

x平方加y平方加xy等于2则xy最大值？

Answer 1

• 将x^2 + y^2 + xy = 2转换为一个关于y的二次方程。为此，我们可以将x视为已知量，然后将y视为未知量，得到y^2 + xy + x^2 - 2 = 0。

• 对于任何一个实数x，这个二次方程都有实数解。因此，我们可以使用求根公式求出y的解析式：

  y = (-x ± √(x^2 - 4(x^2 - 2))) / 2

• 因为我们要求xy的最大值，所以可以使用求导的方法找到y的最大值。为此，我们首先需要求出y的一阶导数和二阶导数：

  dy/dx = (-1 ± (3x^2 - 8)^(1/2)) / 2
  d^2y/dx^2 = (3x) / (2(x^2 - 2)^(1/2))

• 将dy/dx=0代入求导公式，解得x的值为x=sqrt(8/3) ≈ 1.63299。

• 因为d^2y/dx^2 > 0当且仅当x^2 > 2，所以当x=sqrt(8/3)时，y取得最大值，此时y的最大值为：

  y = (-sqrt(8/3) + √(4/3)) / 2 ≈ 0.908

• 因此，当x=sqrt(8/3)，y≈0.908时，xy的最大值为：

  xy = x * y = sqrt(8/3) * 0.908 ≈ 1.538

因此，当x=sqrt(8/3)，y≈0.908时，xy取得最大值，最大值为约为1.538。

Answer 2