Question

:2313.求直线x+y-x-1=0,x-y+x+1=0在平面 :x+y+z=0 上的射影直线方程

Answer 1

首先，将两条直线进行化简，得到它们的标准式方程：
x + y = 1
x - y = -1
通过将这两个方程相加和相减，可以得到：
2x = 0，即 x = 0
2y = 0，即 y = 0
因此，这两条直线的交点为坐标系的原点 (0,0)。
现在，考虑平面 $x+y+z=0$ 的法向量 $\vec{n} = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$。为了找到射影直线，我们需要找到从原点开始的直线，沿着法向量的方向投影到平面上的点。
设射影直线的方程为 $\vec{r} = t\vec{d}$，其中 $\vec{d}$ 是射影直线的方向向量。由于射影点在平面上，所以 $\vec{d}$ 必须是与平面法向量 $\vec{n}$ 垂直的向量。因此，$\vec{d} = \begin{pmatrix}a\\b\\-a-b\end{pmatrix}$（其中 $a$ 和 $b$ 是任意常数）。
通过点与平面的距离公式，我们可以得到射影点到平面的距离为 $\dfrac{|ax + by + cz|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$。将射影点的坐标 $(x,y,z)$ 替换为 $t\vec{d}$，并将平面方程中的 $z$ 替换为 $-x-y$，可以得到：
$$\frac{|ax + by + c(-x-y)|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} = \frac{|(a-c)x + (b-c)y|}{\sqrt{2c^2}}$$
这个式子的值应该为常数 $k$，因为无论在射影直线的哪个点上，射影点到平面的距离始终不变。因此，我们可以选择 $a$ 和 $b$ 使得式子中的分子形式尽量简单，进而得到方便求解的结果。
假设 $a - c = 1$，$b - c = 1$，这样分子将变为 $|x + y|$，则上式化为：
$$\frac{|x + y|}{\sqrt{2} |c|} = k$$
因为射影直线经过原点，所以 $(0,0,0)$ 在射影直线上。因此，如果我们令 $t = 0$，就能解出常数 $c$。带入上面的式子，我们有：
$$\frac{|0 + 0|}{\sqrt{2} |c|} = k$$
即 $k = 0$，因此 $|x+y| = 0$，即 $x+y = 0$。
综上所述，射影直线的方程为 $\vec{r} = t\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$，或者两个参数方程：
$$\begin{cases}x = t \\ y = -t \\ z = 0\end{cases} \quad \text{或} \quad \begin{cases}x = t \\ y = t \\ z = -2t\end{cases}$$
这两个参数方程分别表示 $xy$ 平面上的直线和 $xz$ 平面上的直线，它们在三维空间中的交点为原点，并且它们沿着 $x+y+z=0$ 平面的法向量的方向投影到这个平面上。