Question

数学问题：微积分函数基础问题：函数有界和函数的极限是什么关系呢？

函数有界和函数的极限是什么关系呢？函数的极限就是它的界吗？什么时候是呢还是压根就不是呢？函数有上界，f(x)<m,和函数有界f(x)<=m，等号的参与有多大区别？算函数的极限时常常把x0代入表达式中对吗？求通俗详解，本人在复习考研数学，刚刚开始，看李永乐的书，碰到了疑惑，如问题前后矛盾，还望各位别见笑……

Answer 1

不是不是~函数的极限是对于某个点的定值，比如lim x->0 f(x)=4，limx→∞ f(x)=0之类的
但是界则是对于区间~
比如cosx你会发现在整个区间上界为|M|=1
但是你不能说cosx的极限就是1。只有当它趋向于x=2kπ，k=1,2,3……这些点时才有极限，为1

所以函数的极限是x趋于某些值时，或趋于无穷时才有的定值
而界则是指对于整个函数而言某些区间上，函数的值不会大于这个值（上界），或小于这个值（下界）

Answer 2

设f(x)是区间E上的函数。若对于任意的x属于E，存在常数M≥0，使得|f(x)|≤M，则称f(X)是区间E上的有界函数。
设f:(a,+∞)→R是一个一元实值函数，a∈R.如果对于任意给定的ε＞0，存在正数X，使得对于适合不等式x＞X的一切x，所对应的函数值f(x)都满足不等式. │f(x)-A│<ε , 则称数A为函数f(x)当x→+∞时的极限，记作 f(x)→A(x→+∞).
函数极限可以分成x→ ，x→∞两类

通过上面可以看出是不一样的。
有界可以对某个区间来说的。极限是对某个点或者说某个值
y=1/x在(0,无穷大)上是无界的，但是在x->无穷大的极限却存在。

函数有上界，f(x)<m,和函数有界f(x)<=m，这个差别还真的说不出来...
我认为第一个可以是f(x)的极限是m，然后第二个可以是f(x)的最大值是m

算函数的极限其中有一个是：利用函数连续性：lim f(x) = f(a) x->a （就是直接将趋向值带出函数自变量中，此时要要求分母不能为0）

Answer 3

函数有界和函数的极限没有明确关系，函数的极限就是指X向x0趋近时函数值趋向的一个值，所以极限值可以是函数值域内的值也可以不是值域的值。如X趋向0时X的平方—4X+3的极限是3，但它只有下界—1或比—1小的数，无上界。函数有界f(x)<=m，若能取=号，则m叫但，函数有上界，则上界有无数多个，但上确界可能没有，有的话，也只有一个。比如3是上界，则大于3的数都是它的上界。若函数连续，算函数的极限时常常把x0代入表达式中，否则就不能了。

Answer 4

函数的极限问题有两种情况 变量x趋近于无穷或者趋近于某有限制值
如果函数在某点趋近于a，则函数在这个点是有界的，即函数的绝对值小于等于某个值