Question

x+2x²+6x³+4x⁴=7

Answer 1

解：
要求解的是多项式方程：$2x^2+6x^3+4x^4=7-x$
由于多项式左侧最高幂数为4，则该方程必有4个实根，其中一部分可以通过代数方法求得，另一部分是通过计算机等数学计算工具求得。
首先，我们将多项式展开为一阶方程组，其中有四个变量$x_1, x_2, x_3, x_4$，令$f(x)=2x^2+6x^3+4x^4-7+x$，则原方程等价于：
$f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=f(x_4)=0$
将上式带入到多项式展开式，可得：
$2x_1^2+6x_1^3+4x_1^4=7-x_1$
$2x_2^2+6x_2^3+4x_2^4=7-x_2$
$2x_3^2+6x_3^3+4x_3^4=7-x_3$
$2x_4^2+6x_4^3+4x_4^4=7-x_4$
将上四式结合可得：
$2(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)+6(x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3)+4(x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4)=7-(x_1+x_2+x_3+x_4)$
继续结合，可得：
$2(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)+6(x_1^3+x_2x_3^2+x_2x_4^2+x_3x_4^2)+4(x_1x_2x_3x_4)=7-\frac{(x_1+x_2+x_3+x_4)^2}{4}$
将多项式的四次项和三次项移到右侧，将二次项和一次项移到左侧，可得：
$2X^2+\frac{(x_1+x_2+x_3+x_4)^2}{4}-7=6X+4X^2$
其中，$X=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+x_1x_4$
此时，该方程化简为一元二次方程：
$2X^2+(x_1+x_2+x_3+x_4)^2-28X-56=0$
把该方程化为二次差分格式：
$X^2+14X-28=(X+7)^2-49$
由此可得：
$X=-7$
代入到前面所求出的二次式中，即可求出$x_1, x_2, x_3, x_4$：
$x_1+x_2+x_3+x_4=\pm\sqrt{49+7}$
$x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+x_1x_4=-7$
由于$x_1, x_2, x_3, x_4$是实根，因此只有取正解，所以：
$x_1+x_2+x_3+x_4=\sqrt{56}$
将上式带入到二次式中，可得：
$x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+x_1x_4=-7$
令$x_1=a,x_2=b,x_3=c,x_4=d$，则可得：
$a+b+c+d=\sqrt{56}$
$ab+bc+cd+da=-7$
由此可得：
$(a+b+c+d)^2=56$
$ab+bc+cd+da=-7$
将上式带入到二次式中，可得：
$a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2bc+2cd+2da=49$
$2ab+2bc+2cd+2da=-14$
将上式结合，可以求出$a,b,c,d$的值：
$a=2，b=1，c=−1，d=−4$
所以，原方程的根为：$x_1=2，x_2=1，x_3=-1，x_4=-4$