Question

设函数f（x）在[a，b]上连续，满足f（[a，b]）∈[a，b]。证明：存在x0，∈[a，b]，使得f（x0）=x0。

Answer 1

【答案】：若f（a）=a或f（b）=b，只需令x0=a或b即可，下面假设f（a）≠a，f（b）≠b。
令F（x）=f（x）-x，则F（x）在[a，b]上连续。由于f（[a，b]）∈[a，b]，且f（a）≠a，f（b）≠b，所以F（a）=f（a）-a>0，F（b）=f（b）-b＜0，于是由零点存在定理可知，存在x0∈[a，b]，使得F（x0）=0，即f（x0）=x0。