函数凹凸性与二阶导数的关系
二阶导数反映的是斜率变化的快慢,表现在函数的图像上就是函数的凹凸性。
一、详细介绍
f′′(x)>0，开口向上，函数为凹函数，f′′(x)<0，开口向下，函数为凸函数。
凸凹性的直观理解：设函数y=f(x)在区间I上是连续的。如果函数的曲线在其上任意一点的切线之上，则称其在区间I上是凹的；如果一个函数的曲线在其上任何一点的正切线以下，那么它在区间i内是凸的。
函数的凹性和凸性是在一定区间a内的连续函数。如果它的像是凸的或凹的，分别称为凸函数或凹函数。如果在一定的区间内同时有凹像和凸像，凹像所在的区间称为函数的凹区间，凸像所在的区间称为凸区间。
二、基本的求导法则如下：
求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。
两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。如果有复合函数，则用链式法则求导。
如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么对于区间I上的任意x,y，总有：f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，如果总有f''(x)<0成立，那么上式的不等号反向。
二、拓展资料
一阶导数是自变量的变化率，二阶导数就是一阶导数的变化率，也就是一阶导数变化率的变化率。连续函数的一阶导数就是相应的切线斜率。一阶导数大于0，则递增；一阶倒数小于0，则递减；一阶导数等于0，则不增不减。
而二阶导数可以反映图象的凹凸。二阶导数大于0，图象为凹；二阶导数小于0，图象为凸；二阶导数等于0，不凹不凸。
结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于零，而二阶导数大于零时，为极小值点；当一阶导数等于零，而二阶导数小于零时，为极大值点；当一阶导数、二阶导数都等于零时，为驻点。
