Question

x－1的绝对值+x－2的绝对值+x－3的绝对值+x-4的绝对值＋x-5的绝对值 ，求它的最小值

Answer 1

我们可以先画出这5个绝对值函数的图像，它们在x=1,2,3,4,5处都有一个拐点，拐点的值是它前后两段函数的中点，中点的值等于两端点的平均值，即：

• 当x=1时，|x-1|的拐点为1，|x-2|的拐点为1.5，|x-3|的拐点为2，|x-4|的拐点为2.5，|x-5|的拐点为3，因此，x-1的绝对值为0，其他4个绝对值的和为：|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|=1.5+2+2.5+3=9；

• 当1<x<3时，|x-1|、|x-2|、|x-3|的值分别为x-1、2-x、x-3，|x-4|和|x-5|的值分别为3-x和4-x，因此5个绝对值的和为：(x-1)+(2-x)+(x-3)+(3-x)+(4-x)=8-x；

• 当3<x<5时，|x-1|、|x-2|、|x-3|、|x-4|的值分别为x-1、x-2、5-x、x-4，|x-5|的值为5-x，因此5个绝对值的和为：(x-1)+(x-2)+(5-x)+(x-4)+(5-x)=8-x。

综上所述，当x=1时，函数的最小值为0；当1<x<3时，最小值为8-x；当3<x<5时，最小值为8-x。因此，函数的最小值为0。