Question

设函数y=f(x)是定义域在R^+上的减函数,并且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(1/3)=1,求f(1)的值

如果f(x)+f(2-x)＜2，求x的取值范围

Answer 1

因为f(xy)=f(x)+f(y),f(1/3)=1
所以f(1/3)=f(1*1/3)=f(1)+f(1/3)
所以f(1)=0

因为f(xy)=f(x)+f(y),f(1/3)=1
所以f(1/9)=f(1/3*1/3)=f(1/3)+f(1/3)=2
因为f(x)+f(2-x)＜2
所以f(x(2-x))<2
即f(2x-x^2)<2=f(1/9)
因为函数y=f(x)是定义在R+上的减函数
所以2x-x^2>1/9
即9x^2-18x+1>0
所以x>(3+2√2)/3或x<(3-2√2)/3
注意y=f(x)是定义在R+上的减函数，f(x)+f(2-x)＜2，所以x必须还满足x>0,x<2
综上知x的取值范围：0<x<(3-2√2)/3,或者(3+2√2)/3<x<2

Answer 2

令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1)所以f(1)=0
f(1/3)=1知f(1/9)=f(1/3)+f(1/3)=2
f(x)+f(2-x)＜2
f(x)+f(2-x)=f(2x-xx)<2=f(1/9)
因为单调减，所以2x-xx>1/9
所以1-(2根号2除以3)<x<1+(2根号2除以3)
又，x>0,2-x>0得0<x<2
综上所述0<x<1+(2根号2除以3)

Answer 3

你写的是f(x)+f(2-x)<2吗？我的题目是f(x/1)+f(2-x)<2.其他都一样。